单位厄米矩阵范例
篇一：习题解答
第一章 激光的基本原理
习题
2．如果激光器和微波激射器分别在?=10μm、?=500nm和?=3000MHz输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？
解：若输出功率为P，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n，则：
P?nh??nhn?
?34
c
?
由此可得：
PP??h?hc
其中h?6.626?10
J?s为普朗克常数，c?3?108m/s为真空中光速。
所以，将已知数据代入可得：
?=10μm时：
n=5?1019s-1 n=2.5?1018s-1 n=5?1023s-1
?=500nm时：
?=3000MHz时：
3．设一对激光能级为E2和E1(f2?f1)，相应的频率为?(波长为λ)，能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求
(a) 当ν=3000MHz，T=300K时，n2/n1?? (b) 当λ=1μm，T=300K时，n2/n1?? (c) 当λ=1μm，n2/n1?0.1时，温度T=？
解：当物质处于热平衡状态时，各能级上的粒子数服从波尔兹曼统计分布：
n2?(E?E1)??h???hc??exp??2?exp??exp??????n1KT??KT??K?T??
(a) 当ν=3000MHz，T=300K时：
?6.626?10?34?3?109?n2
?exp????1?23n11.38?10?300??
(b) 当λ=1μm，T=300K时：
?6.626?10?34?3?108?n2
?exp????0?23?6n11.38?10?10?300??
(c) 当λ=1μm，n2/n1?0.1时：
hc6.626?10?34?3?1083
T???6.26?10K?23?6
K?ln(n1/n2)1.38?10?10?ln10
＋
4．在红宝石Q调制激光器中，有可能将全部Cr3(铬离子)激发到激光上能级并产生巨脉冲。
－
设红宝石直径1cm，长7.5cm，铬离子浓度为2×1019cm3，巨脉冲宽度为10ns。求：(1)输出0.6943?m激光的最大能量和脉冲平均功率； （1）最大能量
W?N?h???r2?d???h?
c
?
3?1082196?34
???0.005?0.075?2?10?10?6.63?10?
0.6943?10?6
脉冲平均功率＝
5. 试证明：由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命??1/A21，
W34? ?9t10?10
证明：若t=0时刻，单位体积中E2能级的粒子数为n20,则单位体积中在t→t+dt时间内因自发辐射而减少的E2能级的粒子数为：
?dn2?A21n2dt?A21n20e?A21tdt
? 故这部分粒子的寿命为t，因此E2能级粒子的平均寿命为 ?A21t
???
tA21n20en20
dt
?
1
A21
7．证明当每个模式内的平均光子数(光子简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。 证：受激辐射跃迁几率为
W21?B21??
受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为
?W21B21??
???A21A21n?h?
式中，??/n?表示每个模式内的平均能量，因此??/(n?h?)即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。
8．(1)一质地均匀的材料对光的吸收系数为0.01mm，光通过10cm长的该材料后，出射光强为入射光强的百分之几？(2)一束光通过长度为1m的均匀激励的工作物质。如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。
-1
解：(1) 出射光强与入射光强之比为
Iout
?e??l?e?0.01?100?
e?1?0.37Iin
所以出射光强只占入射光强的百分之三十七。 (2) 由I(z)?I0e
（g0??(转载于:www.cSSyq.co m 书 业 网:单位厄米矩阵范例)）z
可得：
I(z)（g0??）z
z?1m?e?2
I0
g?ln2??
第二章 开放式光腔与高斯光束
习题
1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
0?0??1?1
?AB????1L????1L?T???22?????????
?CD???R1??01???R1??01?
?1??2?2LL??1?2L(1?)??R2R2
? ??
?222L2L2L2L??[?(1?)]?[?(1?)(1?)]??RRR1R1R1R2??12
由于是共焦腔，有
R1?R2?L
往返矩阵变为
??10?
T???
?0?1?
若光线在腔内往返两次，有
?10?T2???
01??
可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。 于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜M1和M2的曲率半径分别为R1和R2，R1??1m,R2?2m 工作物质长l?0.5m，折射率??1.52 根据稳定条件判据： 其中
L???L???
0??1???1???1 (1)
2??1??
L??(L?l)?
l
?
(2)
由(1)解出2m?L??1m 由(2)得 所以得到：
L?L??0.5?(1?
1
)?L??0.171.52
2.17m?L?1.17m
4．图2.1所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的f?(Rcos?)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，f?R/(2cos?)，?为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1
?10?0?T???1L?1L??10??
?
f1???1??
??01?????
?f1?????01??????01??1??0???AB??CD??
12?A?D??1?3ll2
f?f
2 稳定条件?1?l23l
f2?f
?1?1
l23l
左边有 f2?f
?2?0?
?l?f?2????l??f?1?
??
?0 所以有
lf?2或l
f
?1 对子午线： f子午?R
2cos?对弧失线： f弧失
?
R2cos?
有：
2?
2L2L
Rcos?
?3或 Rcos??1
所以
?R?
或R?
L?
1??
篇二：量子力学第五章习题
第五章 表象理论
?(x??x ，p?x??i??,p?x,F?,p?x)（1）在x表象中的表示为：x5-1 试证明算符x? ，?x
???(x?,p?x)?F(x,?i?)； （2）在P表象中的表示为：x??i??x?px ，F ，p?x?p
??(x?,p?x)?F(i?,px) F?p
5-2 求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。
5-3 求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
5-4 求连续性方程???(x,t)???j?0的矩阵表示。其中?(x,t)??*(x,t)?(x,t) ，?t
?i?j?(???*??*??) 2m
?2?B?B??0，求：?2?1，且A??B?A?,B?,B?满足A?5-5 设厄米算符A（1）在A表象中，算符A
?的本征值?,B?的矩阵表示。的矩阵表示。（2）在B表象中，算符A（3）在A表象中，算符B
?的本征值和本征函数。和本征函数。（4）在B表象中算符A（5）由A表象到B表象的么正
变换矩阵S 。
5-6 已知二阶矩阵A,B满足下列关系：A?0,AA?AA?1,B?A?A，试证明2???
B2?B，并且在B表象中求矩阵A，B。
?1)，5-7 证明：det(SAS)?detA Tr(AB)?Tr(BA) Tr(ABC)?Tr(CAB)?Tr(BCA
由此说明矩阵的det及Tr不因表象而异，或者说矩阵的本征值之和以及本征值之积不因表象而异。
''5-8 设矩阵A的本征值为Ai(i?1,2,?)，令B?e，其本征值为Bi(i?1,2?)，证明A
B?e，由此证明detB?eTrA 。 '
iAi'
5-9 设任何一个厄米矩阵能用一个么正变换对角化。由此证明，两个厄米矩阵能用同一个么正变换对角化的充要条件是它们彼此对易。
5-10 证明若三个厄米矩阵A，B和C有如下对易关系，AB=BA，AC=CA，BC≠CB， 则A的本征值必有简并。
?2p???U(r)，证明求和规则?(En?Ek)Xnk5-11 设H?2mn2??2/2m
?(r?,p?)为厄米算符，证明在能量表象中下式成立：5-12 设F??
?(E
nn?Ek)Fnk2?1?,H?,F?k kF2???5-13 对于线性谐振子，设态矢量v??C
n?0?n?v?vv，试证明v中n态的成n满足a
份为n2
n???a??a??a??v2 ?e，其中?an!
?010????2及L?和L?的矩阵分别为：Lx?2??101?，?的共同表象中，5-14 设已知在L算符Lzxy2???010?
?0?i0??2?Ly???i0?i?，求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵Lx及Ly对2?0??0i?
角化。
??a?和a??满足a??a?的本征值为n?0,1,2,?。并?,a???1，则算符N5-15试证明：若算符a
且，若记相应的归一化本征矢为n，则 ??
?n?nn?，a??n?n?1n? a
篇三：厄米算符
厄米算符 量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示。算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制。文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制。
1. 厄米算符的定义及性质 量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示。因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要。此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述（后文将细述）。其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。
厄米算符具有一些重要的性质：
（1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；
（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；
（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;
（4）厄米算符的本征函数具有完备性。
2. 量子力学中力学量用厄米算符来描述
量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定。“量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义：
其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的；
其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2]。
1
其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用
（ψ 已经归一化）来表示；
其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来。基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述。 3. 厄米算符与经典的对应
我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？从厄米算符是定义出发：但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量[3]。
4. 算符的厄米性对波函数的限制
实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。接下来，下文将在一些文献 [4] [5] [6]的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨。
5. 量子力学中的常见算符
量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算
符以及同位旋算符，这里我们不讨论。从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可??易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛的算符，以期得到普遍的结论。
6. 坐标算符
2
满足厄米算符定义式（1），即对坐标算符来说，算符的厄米性对波函数无附加限制。推广到一般的实函 小结
从上面的对坐标算符、动量算符、能量算符等的讨论可以看到，算符的厄米性对波函数也有一定的限制，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件。
3
篇四：正规矩阵
第二学期第八次课
设A是n维酉空间V内的线性变换,如果V内的线性变换A满足?
(A?,?)=(?,A?)
则称A是A的共轭变换. A为A的共轭变换当且仅当它们在标准正交基下的矩阵互为共轭转置.
共轭变换的五条性质: 1)E=E 2)(A)= A 3)(kA)=kA 4)(A+B)=A+B 5)(AB)=BA
如果A = A,则称A是一个厄米特变换.
设A是n阶复矩阵,如果A=A,则称A是一个厄米特矩阵.
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?,??V,有
?，xn的二次齐次函数 n个复变量x1，x2，
f???aijxixj (aij?aji)
i?1j?1n
n
称为一个厄米特二次型.（对称变换、实对称矩阵、实二次型的推广）。
（酉变换和厄米特变换都是下面的正规变换的特殊情形.）
如果AA= A A,则称A为一个正规变换. （将酉变换的性质推广，有一般的结果：）
命题 酉空间V上的线性变换A的不变子空间M的正交补M是共轭变换A的不变子空间.
证明 ?
?
??
?
??M, ??M?,有
?
(?,A?)=(A?,?)=0 这表明A??M.
?
?
命题 酉空间上的正规变换A的属于特征值?的特征向量?的是共轭变换A的属于特征值?的特征向量.
证明 按假设,有A?=??则
(A?-??,A?-??)=((A-?E)?, A?-??) =(?,(A-?E)(A-?E)?) =(?,(A-?E)(A-?E)?) =(?,0)=0 从而A?=??.
命题 酉空间上的正规变换的属于不同特征值的特征向量互相正交. 证明 设A?=??,A?=??则
?(?,?)=(A?,?)=(?,A?)=(?,??)=?(?,?) 必有(?,?)=0.
定理 n维酉空间上的正规变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵. 证明 对维数n做数学归纳法.
推论 n维酉空间上的酉变换在某组标准正交基下的矩阵是对角阵.
命题 厄米特变换的特征值都是实数.
?
证明 若A?=??,则 ??=A?=A?=????=???是实数.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
推论 n维酉空间上的厄米特变换在某组标准正交基下的矩阵是实对角阵.
定理 厄米特二次型f在适当的酉变数替换下可以化为标准形
f?d1y1y1???dnynyn,
其中d1,?,dn都是实数.
证明 f的矩阵A是一个厄米特矩阵,于是存在酉矩阵U,使
?d1??
UAU?D??
???
d2
???? ?
?dn??
为实对角矩阵.令X=UY,即可.
（推广欧氏空间上的度量的概念，用以统一处理洛仑兹变换和辛变换）
数域K上的n维线性空间V的任一满秩双线性函数f都可以定义V上的度量（以及一组基的度量矩阵G?(f(?i,?j))n?n）；在此度量下同样可定义一个线性变换的共轭变换和正交变换:
设A是V上线性变换,如果存在线性变换A,使 f(A?,?)=f(?,A?)?则称A是A的(关于f的)共轭变换. 如果线性变换A满足
f(A?,A?)=f(?,?) ?
?
?
?
?,??V
?,??V
则称A为(关于f的)正交变换.
在给定的基（度量矩阵为G）下一个线性变换A（矩阵为A）的共轭变换的矩阵
??
A??G?1A?G，（这是因为f(A?,?)=f(?,A?)?(AX)?GY?X?GAY,从而
A?G?GA?）
如果A是正交变换，A的共轭变换等于A
?
?
?1
?
。(因为f(?,?)=f(A?,A?)=f(?,AA?)
故f(?,(AA-E)?)=0,由f非退化知AA= E.).